El origen del museo se remonta a una colección de más de 80 000 artículos procedentes de la colección privada de sir Hans Sloane, médico y naturalista. Este médico donó su colección privada al Estado británico según indicaba su testamento del año 1753. La colección incluía 40 000 libros, 7000 manuscritos, dibujos de Durero, su colección de ciencias naturales y medicina, así como antigüedades de Egipto, Grecia, Roma, Oriente Medio, Extremo Oriente y América. El gobierno británico adquirió esta colección por el precio simbólico de 20 000 libras, importe que se obtuvo mediante una lotería pública organizada por el Parlamento Británico, según muestra su acta de fundación del 7 de enero de 1753. Además, se adquirió la biblioteca personal de Robert Cotton y la del anticuario Robert Harley.

Sus administradores decidieron que su primera ubicación fuera en la casa Montagu, una mansión del siglo XVI en el barrio londinense de Bloomsbury, que adquirieron por 20 000 libras. Se inauguró al público el 15 de enero de 1759.

Desde su inauguración, el museo no ha hecho más que aumentar su colección mediante donaciones o compras. Aunque al principio su principal patrimonio eran los documentos y libros, pronto empezó a recibir gran cantidad de objetos antiguos. En 1782 aumentó de forma significativa la colección de antigüedades, por la compra por parte del Estado de las obras y objetos de sir William Hamilton, embajador británico en Nápoles, que incluían piezas de Grecia y Roma. La derrota de la flota de Napoleón en Egipto en la batalla de Aboukir permitió que el Museo Británico adquiriera en 1801 gran cantidad de antigüedades egipcias y la célebre piedra de Rosetta. También se añadieron un gran número de esculturas griegas, como las de la colección Townely en 1805 y los Mármoles de Elgin, más conocidos como los mármoles del Partenón, vendidos por el conde de Elgin en 1816. La donación del año 1823 por parte del rey Jorge IV al Estado británico de la biblioteca de su padre, la Biblioteca del Rey, hizo que se considerara la necesidad de trasladar la colección a una nueva sede por la falta de espacio en la casa Montagu. Tras la mudanza, la antigua sede fue demolida en 1845. El arquitecto Robert Smirke fue el encargado de diseñar la actual sede del museo.

El museo empezó a atraer a muchos conservadores e historiadores, lo que hizo que se empezaran a catalogar y a clasificar todas las piezas que contenían. El primero de estos catálogos se publicó en 1808. Al mismo tiempo, comenzó a ser sede del estudio por parte de numerosos investigadores, que encontraron en sus salas mucha documentación de la biblioteca y piezas únicas sobre las cuales trabajar.

En 1887, debido a la falta de espacio, trasladaron toda la colección de piezas naturales al Museo de Historia Natural de Londres, que se convirtió en museo propio en 1963. Entre 1970 y 1998 toda la colección etnográfica del museo se hallaba en el Museo de la Humanidad, en Londres. En 1973 se separó del museo la Biblioteca Británica, aunque todavía mantiene en el museo gran cantidad de volúmenes y su gran Sala de lectura. Los libros permanecieron en el museo hasta 1998.

El museo siempre ha estado abierto, con la excepción de las dos guerras mundiales, en las que permaneció cerrado por miedo a posibles daños en sus obras. Se hicieron evacuaciones parciales de obras, aceleradas durante la Segunda Guerra Mundial, por los daños que produjeron las bombas sobre el museo durante los bombardeos sobre la ciudad de Londres.

El Museo Británico posee más de ocho millones de objetos que cubren la historia de la cultura humana desde sus orígenes hasta la actualidad. Muchos de estos artefactos no están expuestos, sino que se conservan en un subterráneo, ya que el museo no dispone de suficiente espacio.

En 2023 estalló un escándalo por el robo continuado durante varios años de hasta 2000 piezas en el Museo Británico.[1]​ Este escándalo conllevó la dimisión del director del museo, Hartwig Fischer, por manifiestas irregularidades en su gestión.[2]​[3]​